Matematica
3 de dez. de 2025
1.231
8 páginas
Ester Mesquita @estermesquita
A análise combinatória nos permite contar de forma indireta o número de agrupamentos possíveis com elementos de conjuntos.... Mostrar mais
Quando precisamos calcular quantas possibilidades existem para formar grupos ou sequências, usamos a análise combinatória. Ela é super útil para resolver problemas do dia a dia, como calcular senhas possíveis ou formar equipes.
Vamos ver um exemplo prático calcular quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos criar usando os números de 1 a 9. Para resolver isso, temos duas abordagens
Usando o princípio fundamental da contagem, consideramos as escolhas em cada posição
Multiplicando 9 × 8 × 7 × 6 = 3.024 senhas possíveis.
💡 Uma dica importante identifique se a ordem importa no problema. Se importa (como em senhas), pense em arranjos; se não importa, pense em combinações.
Alternativamente, podemos usar a fórmula de arranjo A₉,₄ = 9!/(9-4)! = 9!/5! = 9×8×7×6 = 3.024 senhas.
Quando formamos grupos onde a ordem dos elementos não importa, usamos combinações. Isso é comum em problemas de formação de equipes, comitês e grupos de trabalho.
Por exemplo, um técnico de vôlei precisa escalar 6 jogadores entre 15 disponíveis. Como a posição específica de cada jogador não foi considerada no problema, não importa a ordem em que escolhemos os jogadores - o que importa é quais 6 jogadores serão escolhidos.
Para calcular isso, usamos a fórmula de combinação C₁₅,₆ = 15!/(6!(15-6)!) = 15!/(6!×9!)
Desenvolvendo, temos 15×14×13×12×11×10×9!/(6×5×4×3×2×1×9!) = 5.005 maneiras possíveis
Outro exemplo simples é quando temos opções de roupas com 6 camisas e 4 calças, uma pessoa pode se vestir de 6×4 = 24 maneiras diferentes, aplicando o princípio fundamental da contagem.
🔑 Lembre-se use combinações (C) quando a ordem não importa, e arranjos (A) quando a ordem faz diferença no resultado.
As permutações são usadas quando precisamos ordenar todos os elementos de um conjunto. Elas representam todos os possíveis arranjos desses elementos, onde a ordem faz diferença.
Imagine 6 amigos que vão sentar em um banco para tirar uma foto. Como todos participarão e a ordem importa (a pessoa sentada à esquerda é diferente da sentada à direita), usamos a fórmula de permutação
P₆ = 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 maneiras diferentes
Isso significa que existem 720 formas diferentes de organizar esses 6 amigos no banco para a foto.
Um outro exemplo prático é determinar quantas formas diferentes podemos formar um pódio (1º, 2º e 3º lugares) em uma competição com 8 jogadores. Como a ordem importa (ser primeiro é diferente de ser segundo), usamos o arranjo
A₈,₃ = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8×7×6×5!/5! = 336 formas diferentes
🏆 Nos problemas de competição, normalmente usamos arranjos, pois a posição (1º, 2º, 3º lugar) faz toda a diferença!
Para problemas de contagem com múltiplas escolhas independentes, como na lanchonete que oferece combos com 4 tipos de sanduíche, 3 de bebida e 2 de sobremesa, basta multiplicar 4×3×2 = 24 combos possíveis.
Formar comissões, comitês ou grupos onde a função de cada integrante é a mesma é um problema clássico de combinação. Nestes casos, não importa a ordem em que escolhemos as pessoas, apenas quais pessoas fazem parte do grupo.
Se precisamos formar uma comissão com 4 elementos a partir de 20 alunos, usamos a fórmula de combinação
C₂₀,₄ = 20!/(4!(20-4)!) = 20!/(4!×16!) = (20×19×18×17×16!)/(4×3×2×1×16!) = 4.845 comissões possíveis
Este valor representa todas as possibilidades de escolher 4 pessoas entre 20, sem considerar a ordem em que foram escolhidas.
Para problemas mais complexos, às vezes precisamos dividir em partes. Por exemplo, calcular o número de formas de organizar 5 membros de uma família para uma foto. Como a ordem importa (quem fica à direita ou à esquerda), usamos permutação
P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 possibilidades
📸 Ao resolver problemas de análise combinatória, identifique se está contando elementos ordenados ou apenas grupos (combinação). Isso simplifica muito a solução!
Quando adicionamos restrições, como Carlos e Ana ficarem lado a lado na foto, tratamos esse par como um único elemento (com permutação interna). Isso resulta em 48 possibilidades.
Nosso companheiro de IA foi criado especificamente para atender às necessidades dos estudantes. Com base nos milhões de conteúdos que temos na plataforma, podemos oferecer respostas realmente relevantes e significativas. Mas não se trata apenas de respostas, o companheiro também está aqui para guiar você pelos desafios diários de aprendizado, com planos de estudo personalizados, quizzes ou conteúdos no chat e 100% de personalização com base nas suas habilidades e desenvolvimentos.
Pode descarregar a aplicação na Google Play Store e na Apple App Store.
Sim, tem acesso gratuito ao conteúdo da aplicação e ao nosso companheiro de IA. Para desbloquear determinadas funcionalidades da aplicação, pode adquirir o Knowunity Pro.
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Ferramentas Inteligentes NOVO
Transforme esta anotação em: ✓ 50+ Questões de Prática ✓ Flashcards Interativos ✓ Simulado Completo ✓ Esquemas de Redação
App Store
Google Play
O app é muito fácil de usar e bem projetado. Encontrei tudo o que estava procurando até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Definitivamente vou usar o app para uma tarefa de classe! E, claro, também ajuda muito como inspiração.
Stefan S
usuário de iOS
Este app é realmente ótimo. Tem muitos materiais de estudo e ajuda [...]. Minha matéria problemática é o francês, por exemplo, e o app tem tantas opções de ajuda. Graças a este app, eu melhorei meu francês. Eu recomendaria para qualquer pessoa.
Samantha Klich
usuária de Android
Uau, estou realmente impressionado. Eu experimentei o app porque vi muitos anúncios e fiquei absolutamente maravilhado. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece muitas coisas, como treinos e resumos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Anna
usuária de iOS
aplicativo PERFEITO! além de te ajudar a estudar de verdade (diferente do chatgpt que só te dá a resposta), tem vários quiz e outras atividades interativas pra ajudar a fixar ainda mais o conteúdo, tudo perfeito, meu novo app preferido!
S Dudah
usuário iOS
o aplicativo e incrível, eu sou estudante do primeiro ano, e estudei o ensino fundamental todo e uma escola que não tinha nem o básico pra educação, graças a esse aplicativo eu consegui chegar ao nível que estou, knowunity tem quiz de várias matérias e quando você erra uma eles explicam o por que de você está errada, os mapas mentais que tem são incríveis e o chat e bem explicativo.
Milena S
usuária Android
Esse app te ajuda a se preparar para as provas, e além do mais, ajuda outras pessoas, super recomendo esse app, podem baixar sem medo algum! 💖
David K
usuário iOS
O app é simplesmente incrível! Só preciso digitar o assunto na barra de pesquisa e recebo a resposta bem rápido. Não preciso assistir a 10 vídeos no YouTube para entender algo, assim economizo meu tempo. SUPER RECOMENDO!
Sudenaz Ocak
usuário Android
Na escola eu era muito ruim em matemática, mas graças ao app, estou indo melhor agora. Sou muito grato por você ter criado o app.
Bonnie dando o sinal verde
usuária de Android
Eu particularmente amei pra aquele aluno que odeia ver no livro justifique sua resposta ,e só vc pergunta pra ele uma resposta pessoal dele que ele responde meu novo melhor amigo ele me deixou muito segura para as provas
Julia S
usuária Android
Vi esse aplicativo no TikTok, e resolvi baixar pois estava na semana de testes E ME AJUDOU MUITO, Além de me ajudar nos deveres escolares me ajudou nos teste e está me ajudando nas provas bimestrais 🩷
Marco B
usuário iOS
Mano, tá me ajudando MUUUITO. É bom pra você falar os conteúdos que vão cair na prova e pedir pra ele fazer um quiz. Isso me ajudou pra caramba, sério. Tirei a maior nota da sala💥
Sarah L
usuária Android
Ajuda em todas as matéria e ainda replica como resolver, eu amei, aprendi muita coisa de matemática, e o melhor app de estudos
Lucia
usuário iOS
O app é muito fácil de usar e bem projetado. Encontrei tudo o que estava procurando até agora e consegui aprender muito com as apresentações! Definitivamente vou usar o app para uma tarefa de classe! E, claro, também ajuda muito como inspiração.
Stefan S
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Samantha Klich
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Uau, estou realmente impressionado. Eu experimentei o app porque vi muitos anúncios e fiquei absolutamente maravilhado. Este app é A AJUDA que você quer para a escola e, acima de tudo, oferece muitas coisas, como treinos e resumos, que têm sido MUITO úteis para mim pessoalmente.
Anna
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S Dudah
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Esse app te ajuda a se preparar para as provas, e além do mais, ajuda outras pessoas, super recomendo esse app, podem baixar sem medo algum! 💖
David K
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Sudenaz Ocak
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A análise combinatória nos permite contar de forma indireta o número de agrupamentos possíveis com elementos de conjuntos. Aqui vamos explorar diferentes problemas e técnicas de contagem que são essenciais para provas e exercícios práticos. Veremos como aplicar o princípio... Mostrar mais
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Quando precisamos calcular quantas possibilidades existem para formar grupos ou sequências, usamos a análise combinatória. Ela é super útil para resolver problemas do dia a dia, como calcular senhas possíveis ou formar equipes.
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Multiplicando: 9 × 8 × 7 × 6 = 3.024 senhas possíveis.
💡 Uma dica importante: identifique se a ordem importa no problema. Se importa (como em senhas), pense em arranjos; se não importa, pense em combinações.
Alternativamente, podemos usar a fórmula de arranjo: A₉,₄ = 9!/(9-4)! = 9!/5! = 9×8×7×6 = 3.024 senhas.
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Para calcular isso, usamos a fórmula de combinação: C₁₅,₆ = 15!/(6!(15-6)!) = 15!/(6!×9!)
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P₆ = 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 maneiras diferentes
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A₈,₃ = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8×7×6×5!/5! = 336 formas diferentes
🏆 Nos problemas de competição, normalmente usamos arranjos, pois a posição (1º, 2º, 3º lugar) faz toda a diferença!
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Se precisamos formar uma comissão com 4 elementos a partir de 20 alunos, usamos a fórmula de combinação:
C₂₀,₄ = 20!/(4!(20-4)!) = 20!/(4!×16!) = (20×19×18×17×16!)/(4×3×2×1×16!) = 4.845 comissões possíveis
Este valor representa todas as possibilidades de escolher 4 pessoas entre 20, sem considerar a ordem em que foram escolhidas.
Para problemas mais complexos, às vezes precisamos dividir em partes. Por exemplo, calcular o número de formas de organizar 5 membros de uma família para uma foto. Como a ordem importa (quem fica à direita ou à esquerda), usamos permutação:
P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 possibilidades
📸 Ao resolver problemas de análise combinatória, identifique se está contando elementos ordenados ou apenas grupos (combinação). Isso simplifica muito a solução!
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Samantha Klich
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Anna
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Este app é realmente ótimo. Tem muitos materiais de estudo e ajuda [...]. Minha matéria problemática é o francês, por exemplo, e o app tem tantas opções de ajuda. Graças a este app, eu melhorei meu francês. Eu recomendaria para qualquer pessoa.
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