Introdução à Matemática

Este material cobre os principais conteúdos do 1º bimestre do 8º ano, focando em:

• Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)
• Operações com números reais
• Potenciação e radiciação
• Expressões algébricas

Dominar estes conteúdos vai ajudar você a resolver problemas matemáticos mais complexos no futuro. Vamos começar!

Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste estudo, você será capaz de:

• Classificar números em seus conjuntos (naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais)
• Localizar e comparar números reais na reta numérica
• Converter números decimais em frações $e vice-versa$
• Calcular o módulo e o oposto de números
• Usar potenciação e radiciação para simplificar expressões
• Trabalhar com notação científica
• Calcular raízes quadradas e cúbicas
• Resolver problemas com expressões algébricas

Dica! Crie um resumo com estes objetivos e marque cada um que você dominar. Isso vai te ajudar a identificar o que ainda precisa estudar mais.

Números Reais

Os números reais (símbolo: R) englobam todos os números que você conhece. Eles são organizados em conjuntos:

• Números naturais (N): 0, 1, 2, 3... (usados para contar)
• Números inteiros (Z): ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... (incluem os negativos)
• Números racionais (Q): números que podem ser escritos como fração $ex: 1/2, 22/7$
• Números irracionais (I): números que não podem ser escritos como fração (ex: π, √2)

Cada conjunto está contido dentro do outro: os naturais estão dentro dos inteiros, que estão dentro dos racionais, e junto com os irracionais formam os reais.

Lembre-se que todo número que você consegue escrever como fração é racional!

Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais são aqueles que podem ser representados como uma fração de inteiros:

Q = {a/b | a ∈ Z e b ∈ Z*}

Isso significa que um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração onde:

• O numerador (a) é um número inteiro
• O denominador (b) é um número inteiro diferente de zero

Para somar ou subtrair frações, precisamos encontrar o denominador comum:

(-1/2) + (-5/2) = -6/2 = -3

Com números decimais, somamos ou subtraímos normalmente:

0,35 - 0,14 = 0,21

Relação entre Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos têm uma relação de inclusão:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Isso significa que:

• Todo número natural também é inteiro, racional e real
• Todo número inteiro também é racional e real
• Todo número racional também é real
• Números irracionais são apenas reais

Por exemplo, o número 5 é natural, inteiro, racional e real, enquanto π é apenas irracional e real.

Atenção! Quando perguntarem a que conjunto um número pertence, mencione todos os conjuntos possíveis!

Representação Decimal dos Números Racionais

Os números racionais podem ter três tipos de representação decimal:

1. Decimal exato: termina após algumas casas decimais

   • Exemplo: 2/5 = 0,4

2. Dízima periódica simples: um ou mais dígitos se repetem infinitamente logo após a vírgula

   • Exemplo: 23/99 = 0,232323... = 0,23̅

3. Dízima periódica composta: há dígitos não repetitivos após a vírgula, seguidos por dígitos que se repetem

   • Exemplo: 23/90 = 0,2555... = 0,25̅

Qualquer número que possa ser escrito como fração é racional, mesmo que sua representação decimal seja infinita (desde que seja periódica).

Dízimas Periódicas Simples

Uma dízima periódica simples ocorre quando os dígitos começam a se repetir imediatamente após a vírgula. O conjunto de dígitos que se repete é chamado de período.

Exemplos:

• 0,32323232... (período: 32)
• 4,11111... (período: 1)
• 72,543543543... (período: 543)

Para representar dízimas periódicas de forma mais simples, colocamos uma barra sobre os números que se repetem:

• 0,32323232... = 0,3̅2̅
• 4,11111... = 4,1̅
• 72,543543543... = 72,5̅4̅3̅

Todas as dízimas periódicas simples podem ser convertidas em frações!

Dízimas Periódicas Compostas

Uma dízima periódica composta tem um antiperíodo (dígitos que não se repetem após a vírgula) seguido por um período (dígitos que se repetem infinitamente).

Exemplos:

• 2,3244444... (antiperíodo: 32, período: 4)
• 9,123656565... (antiperíodo: 123, período: 65)
• 0,876547654... (antiperíodo: 8, período: 7654)

Para representar essas dízimas, colocamos a barra apenas sobre os dígitos que formam o período:

• 2,324̅
• 9,1236̅5̅
• 0,87̅6̅5̅4̅

É importante identificar corretamente o antiperíodo e o período para converter essas dízimas em frações.

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas Simples

Para encontrar a fração que gera uma dízima periódica simples, seguimos estes passos:

1. Chamamos a dízima de x
2. Multiplicamos x por uma potência de 10 para alinhar os períodos
3. Subtraímos as equações
4. Isolamos x

Exemplo para x = 0,161616...:

• x = 0,161616...
• 100x = 16,1616...
• 100x - x = 16,1616... - 0,161616...
• 99x = 16
• x = 16/99

Essa técnica funciona para qualquer dízima periódica simples e é muito útil para converter decimais infinitos em frações exatas.

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas Compostas

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta, precisamos adaptar a técnica:

1. Chamamos a dízima de x
2. Multiplicamos x por potências de 10 para alinhar os períodos
3. Subtraímos as equações
4. Isolamos x

Exemplo para x = 0,38888...:

• x = 0,38888...
• 10x = 3,8888...
• 100x = 38,8888...
• 100x - 10x = 38,8888... - 3,8888...
• 90x = 35
• x = 35/90 = 7/18

Simplificando sempre a fração final, obtemos a fração geratriz mais simples possível.

Dica! O número de zeros na potência de 10 deve corresponder ao número de dígitos no antiperíodo + período.