Introdução ao Caderno de Questões SAEB

Este material foi desenvolvido para ajudar você a revisar os principais temas de matemática do 3º ano do Ensino Médio. As questões foram elaboradas com diferentes níveis de dificuldade para que você possa progredir gradualmente em seu aprendizado.

Ao resolver os problemas propostos, você terá a chance de revisar conteúdos importantes e desenvolver habilidades essenciais para a resolução de questões. Cada problema vem com a resposta correta e uma breve explicação, o que torna este caderno uma excelente ferramenta de estudo.

Lembre-se que a matemática vai muito além de fórmulas e cálculos - ela nos ensina a pensar de forma lógica, analisar dados e tomar decisões. Use este material com dedicação e verá como seus conhecimentos matemáticos vão se aprimorar.

Dica de estudo: Não se preocupe em acertar tudo de primeira. O importante é entender o processo de resolução e aprender com os erros. Se tiver dificuldades, consulte a resposta e a explicação com atenção.

Para aproveitar melhor este caderno:

• Leia cada questão cuidadosamente
• Tente resolver sem consultar as respostas
• Pratique regularmente, pois a prática leva à perfeição
• Busque ajuda de professores ou colegas quando necessário

Descritores SAEB de Geometria

Neste primeiro módulo, vamos trabalhar com os seguintes descritores:

D01 - Identificação de figuras semelhantes Este descritor explora o conceito fundamental de semelhança entre figuras geométricas, baseado na proporcionalidade entre lados correspondentes e na congruência de ângulos.

Para dominar este descritor, você precisa:

• Compreender o que define figuras semelhantes
• Identificar relações de proporcionalidade
• Resolver problemas envolvendo medidas em figuras semelhantes

D02 - Relações métricas no triângulo retângulo Aqui trabalhamos com o Teorema de Pitágoras e outras relações entre as medidas dos lados e alturas no triângulo retângulo, ferramentas essenciais para resolver problemas geométricos.

D03 - Relação entre poliedros e suas planificações Este descritor aborda a visualização espacial, conectando figuras tridimensionais (poliedros e corpos redondos) com suas representações bidimensionais (planificações e vistas).

D04 - Relação entre vértices, faces e arestas Foca na fórmula de Euler $V - A + F = 2$ e nas relações numéricas que existem em poliedros.

Lembre-se! A geometria está em toda parte ao nosso redor. Quando você entende estes conceitos, consegue ver matemática em edifícios, embalagens, obras de arte e muitos outros objetos cotidianos.

D11, D12 e D13 - Cálculos de perímetro, área e volume Estes descritores lidam com os cálculos de medidas fundamentais para figuras planas e espaciais, aplicáveis em diversos contextos práticos.

Relações Métricas e Figuras Tridimensionais

D02 - Relações métricas do triângulo retângulo Este descritor aborda o Teorema de Pitágoras e as relações entre as medidas dos lados e da altura relativa à hipotenusa. Estas ferramentas são essenciais para resolver problemas com figuras planas e espaciais.

Você deve ser capaz de:

• Aplicar o Teorema de Pitágoras em situações variadas
• Identificar triângulos retângulos em figuras complexas
• Calcular distâncias e medidas usando relações métricas

D03 - Poliedros, corpos redondos e suas planificações Este tópico explora a relação entre figuras tridimensionais (poliedros com faces planas e corpos redondos com superfícies curvas) e suas representações bidimensionais.

Para dominar este conteúdo:

• Identifique diferentes tipos de poliedros e corpos redondos
• Compreenda como uma figura 3D pode ser representada numa planificação 2D
• Visualize mentalmente como uma planificação se transforma quando dobrada

Atenção! A capacidade de visualização espacial é fundamental neste tópico. Tente construir modelos físicos de poliedros ou usar aplicativos de geometria 3D para melhorar sua compreensão.

D04 - Relação entre vértices, faces e arestas A fórmula de Euler $V - A + F = 2$ estabelece uma relação numérica entre os elementos estruturais de qualquer poliedro convexo. Esta é uma ferramenta poderosa para analisar e resolver problemas envolvendo poliedros.

Lembre-se de praticar a contagem correta de vértices, faces e arestas em diferentes tipos de poliedros!

Perímetro, Área e Volume

D11 - Cálculo de perímetro O perímetro representa a medida do contorno de uma figura plana. Este conceito é aplicado em diversos contextos práticos, como calcular a quantidade de material necessária para cercar um terreno.

Você deve ser capaz de:

• Calcular o perímetro de diferentes figuras planas
• Resolver problemas envolvendo perímetros em contextos reais
• Compreender a relação entre perímetro e outras medidas

D12 - Cálculo de área A área mede a extensão de uma superfície plana. Este conceito é fundamental para resolver problemas como determinar a quantidade de material para cobrir um piso ou pintar uma parede.

Habilidades importantes:

• Aplicar fórmulas de área para diferentes figuras geométricas
• Resolver problemas práticos envolvendo áreas
• Compreender a relação entre área e dimensões lineares

Dica prática: Para facilitar, memorize algumas fórmulas básicas: área do retângulo (base × altura), triângulo (base × altura ÷ 2), círculo (π × raio²).

D13 - Área total e volume de sólidos Este descritor aborda o cálculo da área total (soma das áreas de todas as faces) e do volume (espaço ocupado) por diferentes sólidos geométricos.

Para dominar este conteúdo:

• Conheça as fórmulas para calcular a área total e o volume de sólidos comuns
• Identifique características específicas de cada tipo de sólido
• Aplique esses conceitos em problemas do cotidiano, como cálculos de capacidade de recipientes

Problemas de Sólidos Geométricos

D13 - Volume e área de sólidos geométricos Este descritor trabalha com o cálculo de medidas essenciais de prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas. Você deve conhecer e aplicar as fórmulas corretas para cada tipo de sólido.

Para ter sucesso neste tópico:

• Memorize as fórmulas principais: volume do prisma (área da base × altura), pirâmide (área da base × altura ÷ 3), cilindro (área da base × altura)
• Pratique a identificação dos elementos de cada sólido (altura, raio, apótema)
• Resolva problemas práticos envolvendo embalagens e recipientes

Vamos começar agora com as questões práticas! A primeira questão envolve o cálculo do perímetro de uma figura formada por retângulos.

Questão 01

A figura é formada por quatro retângulos iguais, cujo perímetro de cada um é 50 cm e a diferença entre suas dimensões é 5 cm. O perímetro de EFGH, em cm, é?

A) 20 B) 25 C) 100 D) 200

Para resolver este problema, precisamos primeiro encontrar as dimensões de cada retângulo. Se o perímetro é 50 cm e a diferença entre os lados é 5 cm, podemos escrever a equação: 2$x + y$ = 50, onde y = x - 5 Resolvendo, obtemos x = 15 cm e y = 10 cm

Importante: Na geometria, sempre verifique se a figura final possui alguma regularidade que possa simplificar os cálculos!

Comparando Perímetros de Figuras Diferentes

Questão 02

Três amigos estavam lendo uma revista de esportes quando encontraram uma figura que mostrava as dimensões de um campo de futebol (retângulo) e um campo de beisebol (quarto de círculo). Qual dos amigos fez afirmativas corretas sobre os perímetros dos dois campos?

A) Arnaldo e Bernardo B) Arnaldo e César C) Bernardo e César D) Arnaldo, Bernardo e César

Para resolver esta questão, você precisa calcular o perímetro de cada campo:

• Campo de futebol (retângulo): 2 × (110 + 75) = 370 m
• Campo de beisebol (quarto de círculo): (2 × 100) + (π × 100/2) = 200 + 157 ≈ 357 m

Observe que comparar perímetros de figuras com formatos diferentes é algo que fazemos constantemente na vida real, como quando precisamos calcular materiais para cercar terrenos ou construir cercas.

Questão 03

Na figura, temos que ABCD e AMON são retângulos, AB = 3BC, M é ponto médio de AB e N é ponto médio de AD. Se o perímetro de AMON é 64 cm, o perímetro de ABCD, em cm, é?

A) 16 B) 48 C) 64 D) 128

Para esta questão, é necessário entender a relação entre os dois retângulos e como os pontos médios dividem os lados do retângulo maior.

Dica de raciocínio: Quando um problema apresenta pontos médios, geralmente isso significa que certas medidas serão divididas pela metade, o que pode facilitar seus cálculos.

Problemas de Semelhança e Proporção

Questão 05

Um laboratório fotográfico reduziu, proporcionalmente, uma foto de 27 cm de largura e 36 cm de comprimento. A foto reduzida tem 8 cm de comprimento, portanto, a sua largura, em centímetros, é:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9

Este é um problema clássico de proporcionalidade e semelhança. Quando uma figura é reduzida ou ampliada proporcionalmente, todos os lados mantêm a mesma razão.

Para resolver:

• Determine a razão de redução: 8 ÷ 36 = 2/9
• Aplique a mesma razão à largura: 27 × (2/9) = 6

Questão 06

Entre as figuras apresentadas, quais representam triângulos semelhantes?

A) I e II B) I e III C) I e IV D) II e III E) III e IV

Para identificar triângulos semelhantes, você precisa verificar:

• Se os ângulos correspondentes são iguais (critério AA)
• Se os lados correspondentes são proporcionais (critério LLL)
• Se há uma combinação adequada de lados e ângulos (critério LAL)

Lembre-se: Figuras semelhantes mantêm a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes. Esta ideia é amplamente utilizada em mapas, plantas arquitetônicas e diversos contextos do cotidiano.

Resolução de Problemas com Cilindros e Sólidos

Questão 08

Uma lata de leite em pó, em forma de cilindro reto, possui 8 cm de altura com 3 cm de raio na base. Uma outra lata de leite, de mesma altura e cujo raio é o dobro da primeira lata, possui um volume:

A) duas vezes maior B) três vezes maior C) quatro vezes maior D) sete vezes maior E) oito vezes maior

Para resolver este problema, precisamos analisar como o volume de um cilindro se relaciona com o raio da base:

• Volume do cilindro: V = π × r² × h
• Se o raio dobra (de 3 cm para 6 cm) e a altura permanece igual, o volume será afetado apenas pela mudança no raio ao quadrado
• Então: Vnovo = π × (6)² × 8 = 4 × (π × 3² × 8) = 4 × Vantigo

Questão 09

Um designer sugeriu trocar embalagens cúbicas por embalagens em forma de tetraedro. Considerando que a aresta da nova embalagem seja a mesma da embalagem antiga e meça 10 cm, e que √3 = 1,74, a quantidade de material economizado será, aproximadamente, de:

A) 174 cm² B) 226 cm² C) 270 cm² D) 426 cm² E) 470 cm²

Este problema envolve comparar a área superficial de um cubo com a de um tetraedro regular:

• Área do cubo: 6 × (10)² = 600 cm²
• Área do tetraedro regular: 4 × (área de uma face triangular)

Aplicação prática: Empresas frequentemente estudam diferentes formatos de embalagens para economizar material, reduzir custos e impacto ambiental.

Aplicações Práticas da Geometria

Questão 10

No logotipo de uma competição náutica, o triângulo retângulo EFG representa a vela de um barco, sendo EF = 5 m, EG = 3 m e EM o comprimento do barco, que coincide com o diâmetro da circunferência. A medida aproximada desse barco é:

A) 3,9 m B) 4 m C) 5,8 m D) 8 m E) 8,3 m

Este problema combina o Teorema de Pitágoras com propriedades de círculos:

• Primeiro, você deve encontrar FG usando Pitágoras
• Depois, identificar o diâmetro da circunferência que passa pelos pontos relevantes

Questão 11

Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m², considerando π = 3,14, a altura h será igual a:

A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 9 m E) 16 m

Neste problema, é necessário relacionar:

• A área iluminada (círculo)
• O raio de iluminação
• A altura da luminária
• O ângulo de iluminação (geralmente 45°)

Conexão com a realidade: Arquitetos e designers de iluminação usam estes cálculos diariamente para criar ambientes bem iluminados e agradáveis.

Prismas e Cálculos de Volume

Questão 12

Uma empresa fabrica caixas decorativas em formato de prisma hexagonal e usa fitas coloridas para cobrir as arestas. Sabendo que os hexágonos das bases são regulares, quantas caixas é possível decorar com dois rolos de 5 m de fita?

A) 3 caixas B) 6 caixas C) 8 caixas D) 9 caixas E) 11 caixas

Para resolver este problema, você precisa:

• Calcular o comprimento total das arestas de uma caixa hexagonal
• Dividir o comprimento total de fita disponível pelo comprimento necessário por caixa

Questão 13

Uma fábrica de produtos de MDF produz caixas com formato de paralelepípedo de base retangular, com tampa. Qual o preço para construir uma caixa conforme as indicações?

A) R$69,08 B) R$ 18,48 C) R$15,98 D) R$ 12,98 E) R$ 10,94

Este problema envolve:

• Calcular a área total do paralelepípedo (incluindo a base e a tampa)
• Identificar quais partes usarão MDF mais resistente
• Calcular o custo total com base nos preços por m²

Aplicação profissional: Cálculos semelhantes são feitos diariamente em indústrias de móveis e embalagens para estimar custos de produção e definir preços de venda.